Цифровое неравенство определяется как расслоение общества и государств по возможности получать и использовать информацию, передаваемую с помощью новых информационно-коммуникационных технологий.
Цифровое неравенство понимается автором как следствие экономического и технологического отставания отдельных групп населения, стран и даже целых регионов от прогресса в области образования и инфокоммуникаций, не регулируемого на государственном уровне, на уровне международного сообщества развития информационных процессов. Его можно охарактеризовать следующими положениями:
цифровое неравенство – многокомпонентное целое, оно проявляется в затрудненном доступе к информационно-коммуникационным технологиям; в неготовности пользователей к работе с ними; в ограниченности национальных информационно-функциональных ресурсов; первые две составляющие позволяют представить цифровое неравенство как внутриэкономическое явление, третья – как феномен, существующий между странами;
цифровое неравенство мешает не только тем, кто оказался во «втором эшелоне», но и самим странам нового информационного порядка в достижении мира и стабильности, укреплении собственной безопасности: информационные технологии делают государства зависимыми от техники и технологий, уязвимыми для внешних воздействий и террористических акций;
цифровое неравенство одновременно служит полем взаимодействия для сотрудничества государств с различным уровнем информационно-коммуникационной оснащенности;
цифровое неравенство, однако, не является следствием линейных социальных процессов. Страны с сильной экономикой и развитыми институтами политики и права имеют ограниченные преференции в информационной сфере, тогда как небольшие и даже отсталые государства, которые стали развивать новые технологии, смогли благодаря этому резко вырваться вперед, дать импульс в развитии своим экономикам, повысить благосостояние граждан;
цифровое неравенство преодолевается с помощью изменения ментальности граждан и социальных институтов, прежде всего, бизнеса; новое образование способствует обращению к возможностям интернета все большего количества людей; активность предпринимателей позволяет добиться прорыва в области освоения мировых рынков информационных технологий: успешное развитие фирм, их партнеров и смежников начинает определять поведение, предпочтения граждан, которые по прошествии короткого времени уже без интернета не представляют себе ни государственного управления, ни системы образования, ни экономики своей страны;
цифровое неравенство преодолевается и благодаря целенаправленной политике государства; повсеместно сегодня создаются так называемые электронные правительства, под которыми понимаются новые способы взаимодействия граждан и органов управления с помощью информационных технологий.
В условиях интенсификации информационных обменов на внутреннем состоянии отдельных стран сказались и их стартовые возможности в экономике и политике в момент наступления новой, информационной эры, состояние интеллектуального потенциала общества, науки и образования. Большое значение, как выяснилось, имеет характер национальных традиций, в том числе и в такой сфере, как средства массовой информации, в частности то, является тот или иной народ вербальным, для которого традиции устной речи доминирующие, или его культура основана на письменности. Крайне важны были и географические особенности страны, компактность или дисперсность проживания ее населения.
Происходит модернизация международных отношений, в их основу ложится обмен информацией, причем это идет «поверх барьеров»: неконтролируемое виртуальное пространство одинаково доступно любому подключенному к Сети пользователю, вне зависимости от места его нахождения.
Возникновение информационного неравенства, т.е. разделения стран по уровню «информационного развития», связано с тем, что экономика традиционно ориентируется на платежеспособный спрос населения. Сегодня в мире насчитывается около 100 млн. людей, имеющих доход более 20 тыс. долл. США в год. Они и могут воспользоваться всеми благами процесса информатизации, а вот остальная часть населения может из этого процесса выпасть.
В целом существующее в США цифровое расслоение характеризуется следующим :
выпускники колледжей или университетов имеют в восемь раз больше компьютеров в домашнем пользовании, чем те, кто окончил только среднюю школу, а среди последних число имеющих доступ в интернет в 16 раз меньше, чем среди первых;
число семей с высоким уровнем доходов, проживающих в городских регионах и имеющих доступ к интернету, в двадцать раз больше, чем аналогично оснащенных семей в сельских регионах и с низким уровнем доходов;
дети в белых семьях с низкими доходами в три раз чаще пользуются интернетом по сравнению с аналогичными негритянскими семьями и в четыре раза – по сравнению с семьями латиноамериканского происхождения;
богатые семьи на тихоокеанском побережье США имеют в 13 раз больше домашних компьютеров, чем бедные негритянские семьи, и в 34 раза чаще пользуются интернетом;
дети в белых семьях с двумя родителями в два раза чаще пользуются интернетом, чем дети в белых семьях с одним родителем; дети в негритянских семьях с двумя родителями имеют почти в четыре раза больше возможностей доступа в интернет, чем дети из негритянских семей с одним родителем.
Наличие цифрового расслоения приводит к неравенству граждан не только в получении новейших видов услуг, предоставляемых через интернет, но и в реализации конституционного права на равноправный доступ к государственным информационным ресурсам. Озабоченность проблемой цифрового расслоения в США существует на всех уровнях власти, она рассматривается американским правительством и частным сектором экономики как ключевая для будущего страны
В целом, адаптация технологии не происходит однородно в масштабах всей страны. Степень распространенности факсовых аппаратов, к примеру, намного выше в сфере бизнеса, чем в домашних хозяйствах. Факс никогда не конкурировал с телефоном или почтой в домашних коммуникациях, в то время как для бизнеса имеется значительная ценность в мгновенной передаче документов
Существуют и особые, отличные от традиционно рассматриваемых факторы, обусловливающие неравномерность распространения информационно-коммуникационных технологий. В этом убеждают примеры тех стран, которые в экономическом или политическом отношении никогда не были влиятельными на мировой арене и только теперь благодаря освоению рынка информационных технологий стремительно вырвались вперед, стали ведущими поставщиками технологий и «законодателями мод» в установлении нового стиля жизни. Водораздел между теми, кто пользуется и кто не пользуется интернетом, пролег по линии «город – деревня»: российская аудитория интернета в июле–сентябре 2000 года составила 3,1 млн. человек, из них 2,8 млн. – жители крупных и средних городов, в первую очередь Москвы, Санкт-Петербурга и Екатеринбурга
Отдаленные области, малые города и сельская местность были и остаются непривлекательными рынками предоставления услуг доступа в интернет.
Среди российских пользователей интернета, как показали исследования, доминируют мужчины. В Санкт-Петербурге, например, в середине 1997 года они составляли более 80% интернет-аудитории. Сейчас ситуация меняется.
Доступ к интернету открывает не только экономические возможности, но и оказывает все более весомое воздействие на сферу социального развития. Информационные технологии содействуют становлению дистанционного обучения. Интернет-медицина может предоставлять доступ к современной информации в области охраны здоровья врачам и больным в самых отдаленных регионах страны.
Цифровое неравенство влечет за собой явный социальный проигрыш, усугубляет социокультурные различия между людьми, имеющими и не имеющими доступ в интернет. Это неравенство отражает противоречия современной эпохи. Оно имеет материальную основу, которая коренится в экономических отношениях внутри стран и в разрыве между ними на международной арене, оно свидетельствует о культурных различиях, политических дифференциях. Оно отражает и другие стороны бытия, такие как этнические, географические, демографические особенности людей и обществ
Социологические и социокультурные аспекты
В России проблема «цифрового неравенства» обсуждается относительно давно и исследуется рядом специалистов как технического, так социологического, экономического и других профилей. Проводится ряд научных дискуссий и семинаров, на которых обсуждаются те или иные аспекты цифрового неравенства, выдвигаются основные пути решения этой серьезной социальной проблемы. Также этот вопрос затрагивается на многих Интернет-форумах людьми, которым не безразлично внедрение Электронного Правительства.
Проблема информационного неравенства чрезвычайно сложна из-за множества особенностей и причин и представляет большую угрозу дальнейшему позитивному развитию российского общества. Поэтому главной задачей государственной политики должно стать объединение интересов и возможностей всех заинтересованных сторон – представителей исполнительной и законодательной власти, ученых, общественных деятелей – в целях создания развитого цивилизованного информационного общества, общества людей с равными возможностями.
Проблема цифрового неравенства получила достаточно большое распространение в российской публицистике и стала предметом обсуждения на самых высоких политических уровнях. Обсуждение сопровождалось и действиями, направленными как на стимулирование конкуренции среди телекоммуникационных провайдеров, так и принятии специальных программ ликвидации цифрового неравенства. Например, в 2002 г. начала реализовываться Федеральная целевая программа "Электронная Россия". Президент несколько раз высказывался по этому поводу на различных заседаниях и даже в ежегодном послании Федеральному Собранию. В частности, в самом начале своего президентского срока на заседании президиума Государственного совета, он заявил, что "разница в информационной подготовке, информационных возможностях, которая существуют между людьми, живущими в нашей стране, и создает так называемый информационный разрыв, или цифровой разрыв, цифровое неравенство".
Стоит отметить также, что стоимость безлимитного подключения к Интернету во Владивостоке, например, стоит 1300 руб. в месяц при очень низкой скорости Интернет-соединения, а в Москве за высокоскоростной Интернет в месяц платят лишь 167 руб. (В Ульяновске – около 400 руб.). Такой колоссальный разрыв объясняется тем, что региональным провайдером приходится платить Ростелекому за трафик до крупного регионального узла, где проходит магистральный канал. Другой причиной является относительно низкая в регионах конкуренция среди провайдеров. К счастью, в последнее время эта ситуация стала медленно исправляться с приходом регионы крупных межрегиональных и национальных провайдеров и появлением в регионах Wi-Fi точек доступа.
Однако «информационное неравенство» не сводится только к отсутствию доступа к компьютерам и Интернету: мало обеспечить доступ - необходимо, чтобы люди могли этим доступом воспользоваться. Осведомленность и квалификация в сфере современных информационных технологий - это социальный навык, который стремительно становится необходимостью для современного человека. Следует учесть, что за неравенством по уровню компьютерной/информационной грамотности населения скрываются еще как минимум два тесно связанных между собой аспекта информационного неравенства. Во-первых, это проблема отсутствия мотивации, когда люди не хотят пользоваться информационно-компьютерными технологиями, хотя и имеют такую возможность. Во-вторых, информационное неравенство порождается еще и недостаточностью контента: отсутствие мотивации зачастую объясняется именно тем, что люди не могут найти в Интернет-пространстве то, что им нужно, или получить нужные услуги.
Недостаток навыков или возможности работы с компьютером и интернетом, а также отсутствие такой необходимости - основные причины, по которым у многих людей нет желания пользоваться электронными госуслугами. Подобные мотивы шире распространены среди людей старшего возраста. По данным фонда "Общественное мнение" (ФОМ) 10% таких людей, проживающих в городах с населением от 250 тыс.челове до 1 миллиона человек, не владеют ни компьютером, ни Интернетом, это сложно для них, еще 10% не хотят владеть ими потому, что им это не нужно, 6% не имеют ни компьютера, ни выхода в Интернет, 5% не доверяют Интернету.
Несколько дней по рунету гуляет перевод статьи из одной из влиятельнейших газет мира New York Times о том, что потребление цифровых услуг - это признак бедности.
О том, почему это утверждение не соответствует действительности, очень хорошо написал в ЖЖ популярный блогер Дмитрий Чернышев:
«Я сначала процитирую несколько особенно хлестких абзацев оттуда, а потом объясню, почему на самом деле все гораздо интереснее.
«Вы бедный, если ваш врач консультирует вас по интернету, а не в ходе личной встречи.
Бедный, если ваши дети учатся онлайн, а не у оффлайновых преподавателей.
Бедный, если покупаете товары онлайн, а не в красивом магазине в центре города.
Для бедных существует гигантский рынок сексуальных услуг онлайн, где жители третьего мира продают эротические фантазии бедным гражданам мира первого, которые в состоянии потратить на это лишние десять долларов.
Тот факт, что богатые предпочитают старомодных тьюторов, личных тренеров и поваров, а не Coursera или доставку еды через смартфон, ни для кого не секрет. Но автора статьи Нелли Боулерз идет дальше и заявляет, что происходит "люксеризация" человеческих отношений.
Если вы по-прежнему получаете услуги от живых людей или имеете возможность общаться с ними, значит скорее всего вы представитель новой элиты, престижное потребление которой заключается в отказе от цифровых услуг в пользу оффлайновых.
Бедные покупают в кредит айфон, богатые отказываются от смартфонов. Бедные стараются сделать так, чтобы их дети умели пользоваться компьютерами, богатые предлагают своим наследникам частные школы, где обучение строится на общении между людьми. Если тридцать лет назад обладание персональным компьютером было признаком роскоши, то сегодня жизнь, проведенная перед экраном - это признак вашей неуспешности в жизни.
Потом Боулерз сбивается на довольно спорные утверждения о том, что взросление с гаджетами вредит когнитивному развитию детей и утверждает, что на стороне IT-корпораций в этой дискуссии выступают многочисленные недобросовестные психологи».
На самом деле перед нами не обличение пороков нового мира, а признание о капитуляции старого – теплого и лампового.
И вот, почему:
Теплый ламповый мир был построен на тщательном соблюдении иерархии. Неважно, какой. В мире тресковой икры будет особо цениться красная и черная икра, а в мире красной и черной икры деликатесом станет «икра заморская (облизывается) баклажанная». При появлении первых электронных часов они становятся показателям статуса, а когда электроники станет много, будут цениться настоящие механические часы. Так алюминий стоил когда-то огромных денег, а потом из него стали штамповать ложки. Интересно, как часто понятия роскошь и богатство пересекаются с понятием бесполезное. Ламборгини в Москве или золотой унитаз – это апофеоз глупости.
Эта иерархия ценностей создает у богатых людей иллюзию того, что уж им то доступно самое лучшее. Это прививает людям глупейшую мысль, что ужин в самом дорогом ресторане с самым дорогим шампанским с самой дорогой проституткой может доставить человеку в сто раз больше удовольствия, чем посиделки с друзьями дома за хорошим разговором и бутылкой простого красного македонского вина.
И вот на наших глазах этот мир начинает разрушаться. Искусственный жемчуг ничем не отличается от настоящего. Эксперты не в состоянии отличить искусственные алмазы от настоящих. Люди начинают получать услуги стоимостью в миллиарды долларов практически бесплатно. Вы хотя бы представляете, какой колоссальный объем работы выполняет в реальном времени ваш навигатор? Сколько технологий работает в вашем мобильном телефоне?
И вот богатые люди пытаются выстроить новую иерархию ценностей, которая отличала бы их от простых смертных. Завтра лучшее в мире мясо будет выращиваться в пробирке, но они будут доказывать всем, что настоящее мясо может быть только натуральным. Только мясо крокодила, которого кормили девственными кроликами, выращенными на лугах Бразилии без ГМО. Хотя на самом деле на слепых тестах никто не сможет отличить настоящую японскую мраморную говядину от синтетической.
Завтра будут сделаны молекулярные копиры, которые смогут делать любому желающему копию Рембрандта, не отличающуюся от оригинала ни единым атомом, но миллиардеры будут уверять всех, что только их оригинал обладает духом и аурой настоящего голландца, а копии – это для нищебродов. Так хреновые верующие стремятся обязательно попасть в особые намоленные места – в Иерусалим, на Афон или в Ватикан, а настоящие верующие могут испытывать религиозный восторг при виде придорожного одуванчика, увидев в нем красоту Господа.
Мы все это уже проходили. Настоящий звук возможен только на виниле и только от колонок с золотыми проводами. Настоящее кино можно снимать только на пленку. Настоящая японская кухня есть только в одном нью-йоркском ресторане.
Элита вчера точно так же защищала необходимость лифтеров в лифте и швейцаров на входе. Теплых и ламповых. А фотоэлемент – это удел нищебродов. Скажите, сильно ли вы тоскуете по отсутствию живого контакта с лифтером?
А завтра их журналисты будут писать статьи доказывающие, что водитель с продавцом и официантом обязательно должны быть живыми, а машины без водителя, магазины без продавцов и рестораны без официантов – удел нищебродов. Вы, правда, будете скучать без контакта со сферой обслуживания?
Завтра искусственный интеллект будет в сто раз лучше, точнее и быстрее живого врача, но элита будет прославлять теплых и ламповых дипломированных врачей.
Кто тут недоволен онлайн-порнографией и считает, что это удел бедняков?
Вот нейросеть , которая генерирует лица людей. Вы не сможете отличить их от настоящих. Завтра нейросеть возьмет на себя генерацию порнографии. На любой вкус, цвет и размер. Но элита будет требовать теплых и ламповых порнозвезд. Якобы, сгенерированные «не вставляют». Странно, что они не требуют, чтобы в кино убивали людей по-настоящему. Иначе «не вставляет».
Не бойтесь цифры, это только носитель. Сильное стихотворение, прочитанное с экрана мобильника, может вставить сильнее, чем отборный кокаин, привезенный прямым дипломатическим рейсом из Венесуэлы. Не верьте колумнисту Нью-Йорк Таймс, она получает много денег и пытается защитить свою иерархию ценностей.
А мы построим на ее обломках новую. С теплыми и ламповыми настоящими друзьями.»
К беспрецедентному социальному расслоению в России прибавилось новое измерение - неравенство населения в приобщении к современным информационным технологиям. "Цифровое неравенство" создает новые маргинальные слои, лишенные доступа в современный мир коммуникаций. "Цифровая бедность" оставляет миллионы наших сограждан без возможности общения, получения образования, медицинской помощи, необходимых информационных услуг. Превращение информации из общественного блага в частное стало дополнительным фактором нестабильности - особенно опасной в период затянувшейся трансформации общества.
Перспективы преодоления нового вида неравенства изучают сегодня ученые США и Европы, а также их российские коллеги. О необходимости измерения и сокращения "цифрового неравенства" заявили участники круглого стола, который прошел 24 февраля в Центре развития информационного общества (РИО-Центр). В ходе обсуждения доклада "Информационное неравенство: международный опыт и уроки для России", с которым выступила профессор Института социально-экономических проблем народонаселения РАН Ольга Вершинская, ведущие российские социологи и экономисты согласились, что измерение неравенства должно стать первым шагом на пути его преодоления.
По мнению социологов, информационное неравенство - это не только неравенство в доступе к технике. Как считает Ольга Вершинская, сегодня существуют и другие признаки "цифрового неравенства" - имущественный, возрастной, образовательный, гендерный, территориальный и культурный. Если экономический аспект (то есть недоступность техники в силу низких доходов) никак нельзя назвать специфической чертой данного вида социальной дифференциации, то другие его основания весьма своеобразны: владеть техникой - еще не значит ее использовать. Важнейший фактор информационного неравенства в России - территориальный или поселенческий, так как место жительства (и низкая мобильность) во многом определяет возможности граждан в сфере информатизации.
По мнению Ольги Вершинской, в преодолении информационного неравенства "характерная для сегодняшнего момента ориентация исключительно на краткосрочные цели - опасна". Нужно создавать условия для развития общества знаний - повышать осведомленность населения о новых возможностях; совершенствовать систему обучения и переобучения навыкам владения ИКТ. Главный риск заключается в том, что в России возникает двухслойное общество, в котором только часть населения имеет доступ к современным технологиям, умеет их использовать и получает от этого преимущества.
Принято считать, что развитие инфраструктуры и системы подготовки кадров обеспечат развитие информационного общества. Однако необходимым условием воплощения в жизнь национальной программы информатизации является информационная подготовка населения, достаточный уровень его информационной культуры. Неготовность населения становится серьезнейшим тормозом для развития информационного общества. Важной российской проблемой является неготовность населения не только к использованию ИКТ, но и к использованию знаний, неумение (или нежелание) их использовать. "Цифровое неравенство" с удешевлением техники и развитием инфраструктуры все больше зависит именно от информационной культуры населения.
В число основных направлений деятельности по сокращению "цифрового неравенства", по мнению Ольги Вершинской, должны войти:
Формирование общественного мнения, в том числе проведение открытых обсуждений, публичных докладов, построенных на основе обобщения предложений, поступающих от ведомств и частных лиц; проведение опросов общественного мнения, апробаций;
Расширение системы культурно-информационных центров общественного доступа к ИКТ;
Организация мониторинга готовности жителей к жизни и работе в информационном обществе;
Разработка и внедрение системы социальной помощи в электронном виде незащищенным группам населения, в первую очередь, инвалидам, старикам, мигрантам.
Организация работы на этих направлениях может быть основана на смешанном финансировании и материально-техническом обеспечении, создаваемом партнерскими усилиями заинтересованных социальных сил. Ответственность за всеобщее благосостояние лежит на государстве, однако в постиндустриальном обществе растет взаимная социальная ответственность всех участников экономической деятельности.
По мнению мировых экспертов, главную роль в развитии общества знаний призваны сыграть образование, переподготовка и реклама нового "информационного" образа жизни, позволяющие вовлекать все более широкие круги населения в мир ИКТ. С этим трудно не согласиться, однако для России нужна еще и программа повышения информационной культуры населения.
Директор Института социальной экономики РАН Александр Рубинштейн видит в нынешнем "цифровом неравенстве" проявление более общих закономерностей превращения информации из общественного блага в благо частное. При этом рыночные механизмы не способны обеспечить распространение частного информационного блага во все слои общества. В связи с этим преодоление информационного неравенства невозможно без активности на уровне государства. Однако задача выработки государственной информационной политики в этой сфере сталкивается с важной проблемой - проблемой количественного измерения неравенства. "Проблема № 1 сегодня - это ответ на вопрос: что именно мы хотим выравнивать и как мы будем измерять степень преодоления неравенства?", - подчеркнул Александр Рубинштейн.
Директор Института международных экономических и политических исследований РАН Руслан Гринберг обратил внимание на противоречивый характер развития информационного общества, которое не всегда оправдывает ожидания экономистов и социологов. Например, не оправдываются ожидания тех, кто надеялся, что прогресс ИКТ станет мощным двигателем для развития гражданского общества. "Благодаря ИКТ поле для произвола чиновников в развитых странах постепенно сокращается, однако в России об аналогичных тенденциях говорить рано", - считает Руслан Гринберг. По мнению Елены Сергиенко (Институт государства и права РАН), важным фактором в развитии гражданского общества должны стать нормы нового закона "О праве на информацию", которые обсуждаются сегодня в министерствах и ведомствах, а также в научном сообществе.
По словам начальника отдела архивов Минкультуры России Евгения Кузьмина, уже нынешний уровень "цифрового неравенства" привел к появлению "бездны непонимания в структурах государственного управления". "Малообразованным чиновникам недоступно понимание проблем социального и информационного развития, поэтому и государство в целом сегодня не соответствует потребностям гражданского общества", - считает Евгений Кузьмин.
Профессор Высшей школы экономики Юлий Нисневич предложил различать в "цифровом неравенстве" нормальные и патологические общественные процессы. В любом обществе примерно 20% населения являются передовой движущей силой прогресса, а остальные 80% - ведомой частью общества. Однако складывающееся в России неравенство выходит за рамки нормального деления общества и поэтому требует вмешательства государства. По мнению Нисневича, для нашей страны характерно движение новаций по траектории "столица" - "столица региона" - "провинциальный город", однако перспектива пересмотра административного деления может нарушить сложившиеся пути распространение прогрессивного опыта.
Участники дискуссии - Григорий Белов (старший научный сотрудник Института государства и права РАН) и Александр Варшавский (зав. лабораторией моделирования экономической стабильности ЦЭМИ РАН) - обратили внимание на необходимость учета российской специфики при формировании методов измерения "цифрового неравенства". В обществе сохраняется значительный слой бывшей советской научной и технической интеллигенции, информационный спрос которой формируется личными потребностями новых знаний. Подобный эффект отсутствует в развитых странах, и поэтому иностранные методики оценки цифрового неравенства не всегда применимы для исследования социальных процессов в России.
Практический путь преодоления неравенства населения по доступу к инфраструктуре коммуникаций предложил Олег Бяхов, директор Департамента стратегии построения информационного общества Министерства информационных технологий и связи РФ. По мнению чиновника, сокращению неравенства будет способствовать министерская программа предоставления универсальных услуг связи на всей территории России. "Государство должно предоставить гражданам минимальный, но гарантированный набор услуг, который позволит им не остаться за бортом современного информационного общества", - отметил Олег Бяхов.
Мерой цифрового неравенства при таком подходе может быть численность или доля граждан, которым пока не предоставлен обязательный набор услуг связи. В ближайшие годы минимальный набор услуг будет включать возможность выхода в Интернет через пункты коллективного доступа в населенных пунктах с численностью более 500 человек и наличие таксофона в пределах пешей досягаемости для любого населенного пункта на территории России.
Неравенства в математике играют заметную роль. В школе в основном мы имеем дело с числовыми неравенствами , с определения которых мы начнем эту статью. А дальше перечислим и обоснуем свойства числовых неравенств , на которых базируются все принципы работы с неравенствами.
Сразу отметим, что многие свойства числовых неравенств аналогичны . Поэтому, излагать материал будем по такой же схеме: формулируем свойство, приводим его обоснование и примеры, после чего переходим к следующему свойству.
Навигация по странице.
Числовые неравенства: определение, примеры
Когда мы вводили понятие неравенства, то заметили, что неравенства часто определяют по виду их записи. Так неравенствами мы назвали имеющие смысл алгебраические выражения, содержащие знаки не равно ≠, меньше <, больше >, меньше или равно ≤ или больше или равно ≥. На основе приведенного определения удобно дать определение числового неравенства:
Встреча с числовыми неравенствами происходит на уроках математики в первом классе сразу после знакомства с первыми натуральными числами от 1 до 9 , и знакомства с операцией сравнения. Правда, там их называют просто неравенствами, опуская определение «числовые». Для наглядности не помешает привести пару примеров простейших числовых неравенств из того этапа их изучения: 1<2 , 5+2>3 .
А дальше от натуральных чисел знания распространяются на другие виды чисел (целые, рациональные, действительные числа), изучаются правила их сравнения, и это значительно расширяет видовое разнообразие числовых неравенств: −5>−72 , 3>−0,275·(7−5,6) , .
Свойства числовых неравенств
На практике работать с неравенствами позволяет ряд свойств числовых неравенств . Они вытекают из введенного нами понятия неравенства. По отношению к числам это понятие задается следующим утверждением, которое можно считать определением отношений «меньше» и «больше» на множестве чисел (его часто называют разностным определением неравенства):
Определение.
- число a больше числа b тогда и только тогда, когда разность a−b является положительным числом;
- число a меньше числа b тогда и только тогда, когда разность a−b – отрицательное число;
- число a равно числу b тогда и только тогда, когда разность a−b равна нулю.
Это определение можно переделать в определение отношений «меньше или равно» и «больше или равно». Вот его формулировка:
Определение.
- число a больше или равно числу b тогда и только тогда, когда a−b – неотрицательное число;
- число a меньше или равно числу b тогда и только тогда, когда a−b – неположительное число.
Данные определения мы будем использовать при доказательстве свойств числовых неравенств, к обзору которых мы и переходим.
Основные свойства
Обзор начнем с трех основных свойств неравенств. Почему они основные? Потому, что они являются отражением свойств неравенств в самом общем смысле, а не только по отношению к числовым неравенствам.
Числовым неравенствам, записанным с использованием знаков < и >, характерно:
Что касается числовых неравенств, записанных при помощи знаков нестрогих неравенства ≤ и ≥, то они обладают свойством рефлексивности (а не антирефлексивности), так как неравенства a≤a и a≥a включают в себя случай равенства a=a . Также им свойственны антисимметричность и транзитивность.
Итак, числовые неравенства, записанные при помощи знаков ≤ и ≥, обладают свойствами:
- рефлексивности a≥a и a≤a – верные неравенства;
- антисимметричности, если a≤b , то b≥a , и если a≥b , то b≤a .
- транзитивности, если a≤b и b≤c , то a≤c , а также, если a≥b и b≥c , то a≥c .
Их доказательство очень похоже на уже приведенные, поэтому не будем на них останавливаться, а перейдем к другим важным свойствам числовых неравенств.
Другие важные свойства числовых неравенств
Дополним основные свойства числовых неравенств еще серией результатов, имеющих большое практическое значение. На них основаны методы оценки значений выражений, на них базируются принципы решения неравенств и т.п. Поэтому целесообразно хорошо разобраться с ними.
В этом пункте свойства неравенств будем формулировать только для одного знака строгого неравенства, но стоит иметь в виду, что аналогичные свойства будут справедливы и для противоположного ему знака, а также для знаков нестрогих неравенств. Поясним это на примере. Ниже мы сформулируем и докажем такое свойство неравенств: если a
Для удобства представим свойства числовых неравенств в виде списка, при это будем давать соответствующее утверждение, записывать его формально с помощью букв, приводить доказательство, после чего показывать примеры использования. А в конце статьи сведем все свойства числовых неравенств в таблицу. Поехали!
Следствие. Почленное умножение одинаковых верных неравенств вида a
Прибавление (или вычитание) любого числа к обеим частям верного числового неравенства дает верное числовое неравенство. Другими словами, если числа a и b таковы, что a
Для доказательства составим разность левой и правой частей последнего числового неравенства, и покажем, что она отрицательна при условии a(a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b . Так как по условию a
На доказательстве этого свойства числовых неравенств для вычитания числа c не останавливаемся, так как на множестве действительных чисел вычитание можно заменить прибавлением −c .
Например, если к обеим частям верного числового неравенства 7>3 прибавить число 15 , то получится верное числовое неравенство 7+15>3+15 , что то же самое, 22>18 .
Если обе части верного числового неравенства умножить (или разделить) на одно и то же положительное число c, то получится верное числовое неравенство. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на отрицательное число c , и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство. В буквенном виде: если для чисел a и b выполняется неравенство ab·c.
Доказательство. Начнем со случая, когда c>0
. Составим разность левой и правой частей доказываемого числового неравенства: a·c−b·c=(a−b)·c
. Так как по условию a0
, то произведение (a−b)·c
будет отрицательным числом как произведение отрицательного числа a−b
на положительное число c
(что следует из ). Следовательно, a·c−b·c<0
, откуда a·c На доказательстве рассмотренного свойства для деления обеих частей верного числового неравенства на одно и то же число c не останавливаемся, так как деление всегда можно заменить умножением на 1/c
. Покажем пример применения разобранного свойства на конкретных числах. Например, можно обе части верного числового неравенства 4<6
умножить на положительное число 0,5
, что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5
, откуда −2<3
. А если обе части верного числового неравенства −8≤12
разделить на отрицательное число −4
, и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4)
, откуда 2≥−3
. Из только что разобранного свойства умножения обеих частей числового равенства на число следуют два практически ценных результата. Так их и сформулируем в виде следствий. Все разобранные выше в этом пункте свойства объединяет то, что сначала дано верное числовое неравенство, и из него посредствам некоторых манипуляций с частями неравенства и знаком получается другое верное числовое неравенство. Сейчас мы приведем блок свойств, в которых изначально дано не одно, а несколько верных числовых неравенств, а новый результат получается из их совместного использования после сложения или умножения их частей. Если для чисел a
, b
, c
и d
справедливы неравенства a
Докажем, что (a+c)−(b+d)
– отрицательное число, этим будет доказано, что a+c По индукции это свойство распространяется на почленное сложение трех, четырех, и, вообще, любого конечного числа числовых неравенств. Так, если для чисел a 1 , a 2 , …, a n
и b 1 , b 2 , …, b n
справедливы неравенства a 1 a 1 +a 2 +…+a n . Например, нам даны три верных числовых неравенства одного знака −5<−2
, −1<12
и 3<4
. Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4
– тоже верное. Можно почленно умножать числовые неравенства одного знака, обе части которых представлены положительными числами. В частности, для двух неравенств a
Для доказательства можно умножить обе части неравенста a
Указанное свойство справедливо и для умножения любого конечного числа верных числовых неравенств с положительными частями. То есть, если a 1 , a 2 , …, a n
и b 1 , b 2 , …, b n
– положительные числа, причем a 1 a 1 ·a 2 ·…·a n . Отдельно стоит заметить, что если в записи числовых неравенств содержатся неположительные числа, то их почленное умножение может приводить к неверным числовым неравенствам. Например, числовые неравенства 1<3
и −5<−4
– верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4)
, что то же самое, −5<−12
, а это неверное неравенство.
В заключение статьи, как и было обещано, соберем все изученные свойства в таблицу свойств числовых неравенств
:
Список литературы.
- Моро М. И. . Математика. Учеб. для 1 кл. нач. шк. В 2 ч. Ч. 1. (Первое полугодие) / М. И. Моро, С. И. Волкова, С. В. Степанова.- 6-е изд. - М.: Просвещение, 2006. - 112 с.: ил.+Прил. (2 отд. л. ил.). - ISBN 5-09-014951-8.
- Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
