С. Шестаков,
Москва

Письменный экзамен

11 класс
1. Вычисления. Преобразование выражений

§ 3. Степень с действительным показателем

Упражнения § 5 первой главы сборника в основном связаны с показательной функцией и ее свойствами. В этом параграфе, как и в предыдущих, проверяется не только умение выполнять преобразования на основе известных свойств, но и овладение учащимися функциональной символикой. Среди заданий сборника можно выделить следующие группы:

• упражнения, проверяющие усвоение определения показательной функции (1.5.A06, 1.5.B01–B04) и умение пользоваться функциональной символикой (1.5A02, 1.5.B05, 1.5C11);
• упражнения на преобразование выражений, содержащих степень с действительным показателем, и на вычисление значений таких выражений и значений показательной функции (1.5B07, 1.5B09, 1.5.C02, 1.5.C04, 1.5.C05, 1.5D03, 1.5D05, 1.5.D10 и др.);
• упражнения на сравнение значений выражений, содержащих степень с действительным показателем, требующие применения свойств степени с действительным показателем и показательной функции (1.5.B11, 1.5C01, 1.5C12, 1.5D01, 1.5D11);
• прочие упражнения (в том числе связанные с позиционной записью числа, прогрессиями и др.) - 1.5.A03, 1.5.B08, 1.5.C06, 1.5. C09, 1.5.C10, 1.5.D07, 1.5.D09.

Рассмотрим ряд задач, связанных с функциональной символикой.

1.5.A02. д) Даны функции

Найдите значение выражения f 2 (x) – g 2 (x).

Решение. Воспользуемся формулой разности квадратов:

Ответ: –12.

1.5.C11. б) Даны функции

Найдите значение выражения f(x) f(y) – g(x) g(y), если f(x – y) = 9.

Приведем краткие решения упражнений на преобразование выражений, содержащих степень с действительным показателем, и на вычисление значений таких выражений и значений показательной функции.

1.5.B07. а) Известно, что 6 a – 6 –a = 6. Найдите значение выражения (6 a – 6) · 6 a .

Решение. Из условия задачи следует, что 6 a – 6 = 6 –a . Тогда

(6 a – 6) · 6a = 6 –a · 6 a = 1.

1.5.C05. б) Найдите значение выражения 7 a–b , если

Решение. По условию Разделим числитель и знаменатель левой части данного равенства на 7 b . Получим

Сделаем замену. Пусть y = 7 a–b . Равенство принимает вид

Решим полученное уравнение

Следующая группа упражнений - задачи на сравнение значений выражений, содержащих степень с действительным показателем, требующие применения свойств степени с действительным показателем и показательной функции.

1.5.B11. б) Расположите числа f(60), g(45) и h(30) в порядке убывания, если f(x) = 5 x , g(x) = 7 x и h(x) = 3 x .

Решение. f(60) = 5 60 , g(45) = 7 45 и h(30) = 3 30 .

Преобразуем данные степени так, чтобы получить одинаковые показатели:

5 60 =625 15 , 7 45 =343 15 , 3 30 =9 15 .

Запишем основания в порядке убывания: 625 > 343 > 9.

Следовательно, искомый порядок: f(60), g(45), h(30).

Ответ: f(60), g(45), h(30).

1.5.C12. а) Сравните , где x и y - некоторые действительные числа.

Решение.

Поэтому

Поэтому

Поскольку 3 2 > 2 3 , получаем, что

Ответ:

1.5.D11. а) Сравните числа

Поскольку получим

Ответ:

В завершение обзора задач на степень с действительным показателем рассмотрим упражнения, связанные с позиционной записью числа, прогрессиями и др.

1.5.A03. б) Дана функция f(x) = (0,1) x . Найдите значение выражения 6f(3) + 9f(2) + 4f(1) + 4f(0).

4f(0) + 4f(1) + 9f(2) + 6f(3) = 4 · 1 + 4 · 0,1 + 9 · 0,01 + 6 · 0,001 = 4,496.

Таким образом, данное выражение является разложением в сумму разрядных единиц десятичной дроби 4,496.

Ответ: 4,496.

1.5.D07. а) Дана функция f(x) = 0,1 x . Найдите значение выражения f 3 (1) – f 3 (2) + f 3 (3) + ... + (–1) n–1 f 3 (n) + ...

f 3 (1)–f 3 (2)+f 3 (3)+...+(–1) n–1 f 3 (n)+...= 0,1 3 –0,1 6 +0,1 9 +...+(–1) n–1 · 0,1 3n + ...

Данное выражение является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом 0,001 и знаменателем –0,001. Сумма равна

1.5.D09. а) Найдите значение выражения 5 2x +5 2y +2 5x · 5 y – 25 y · 5 x , если 5 x –5 y =3, x + y = 3.

5 2x +5 2y +25 x · 5 y –25 y · 5 x =(5 x – 5 y) 2 +2 · 5 x · 5 y +5 x · 5 y (5 x – 5 y)=3 2 +2 · 5 x+y +5 x+y · 3=3 2 +2 · 5 3 +3 · 5 3 =634.

Ответ: 634.

§ 4. Логарифмические выражения

При повторении темы «Преобразование логарифмических выражений» (§ 1.6 сборника) следует вспомнить ряд основных формул, связанных с логарифмами:

Приведем ряд формул, знание которых не требуется для решения задач уровней A и B, но может оказаться полезным при решении более сложных задач (число этих формул можно как уменьшать, так и увеличивать в зависимости от взглядов учителя и уровня подготовленности учащихся):

Большинство упражнений из § 1.6 сборника можно отнести к одной из следующих групп:

• упражнения на непосредственное использование определения и свойств логарифмов (1.6.A03, 1.6.A04, 1.6.B01, 1.6.B05, 1.6.B08, 1.6.B10, 1.6.C09, 1.6.D01, 1.6.D08, 1.6.D10);
• упражнения на вычисление значения логарифмического выражения по данному значению другого выражения или логарифма (1.6.C02, 1.6.C09, 1.6.D02);
• упражнения на сравнение значений двух выражений, содержащих логарифмы (1.6.C11);
• упражнения с комплексным многошаговым заданием (1.6.D11, 1.6.D12).

Приведем краткие решения упражнений на непосредственное использование определения и свойств логарифмов.

1.6.B05. а) Найдите значение выражения

Решение.

Выражение принимает вид

1.6.D08. б) Найдите значение выражения (1 – log 4 36)(1 – log 9 36).

Решение. Воспользуемся свойствами логарифмов:

(1 – log 4 36)(1 – log 9 36) =

= (1 – log 4 4 – log 4 9)(1 – log 9 4 – log 9 9) =

= –log 4 9 · (–log 9 4) = 1.

1.6.D10. а) Найдите значение выражения

Решение. Преобразуем числитель:

log 6 42 · log 7 42=(1 + log 6 7)(1 + log 7 6)=1 + log 6 7 + log 7 6 + log 6 7 · log 7 6.

Но log 6 7 · log 7 6 = 1. Следовательно, числитель равен 2 + log 6 7 + log 7 6, а дробь равна 1.

Перейдем к решению упражнений на вычисление значения логарифмического выражения по данному значению другого выражения или логарифма.

1.6.D02. а) Найдите значение выражения log 70 320, если log 5 7=a , log 7 2=b .

Решение. Преобразуем выражение. Перейдем к основанию 7:

Из условия следует, что . Поэтому

В следующей задаче требуется сравнить значения двух выражений, содержащих логарифмы.

1.6.C11. а) Сравните числа

Решение. Приведем оба логарифма к основанию 2.

Следовательно, данные числа равны.

Ответ: данные числа равны.

Для любого угла α такого, что α ≠ πk/2 (k принадлежит множеству Z), справедливо:

Для любого угла α справедливы равенства:

Для любого угла α такого, что α ≠ πk (k принадлежит множеству Z), справедливо:

Формулы приведения

В таблице даны формулы приведения для тригонометрических функций.

Функция (угол в º)	90º - α	90º + α	180º - α	180º + α	270º - α	270º + α	360º - α	360º + α
sin	cos α	cos α	sin α	-sin α	-cos α	-cos α	-sin α	sin α
cos	sin α	-sin α	-cos α	-cos α	-sin α	sin α	cos α	cos α
tg	ctg α	-ctg α	-tg α	tg α	ctg α	-ctg α	-tg α	tg α
ctg	tg α	-tg α	-ctg α	ctg α	tg α	-tg α	-ctg α	ctg α
Функция (угол в рад.)	π/2 – α	π/2 + α	π – α	π + α	3π/2 – α	3π/2 + α	2π – α	2π + α

Четность тригонометрических функций. Углы φ и -φ образуются при повороте луча в двух взаимно противоположных направлениях (по часовой стрелке и против часовой стрелки).
Поэтому конечные стороны OA 1 и ОА 2 этих углов симметричны относительно оси абсцисс. Координаты векторов единичной длины OA 1 = (х 1 , у 1) и ОА 2 = (х 2 , y 2) удовлетворяют соотношениям: х 2 = х 1 y 2 = -у 1 Поэтому cos(-φ) = cosφ, sin (- φ) = -sin φ, Следовательно, синус является нечетной, а косинус- четной функцией угла.
Далее имеем:
Поэтому тангенс и котангенс являются нечетными функциями угла.

8)Обра́тныетригонометри́ческиефу́нкции - математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

§ аркси́нус (обозначение: arcsin)

§ аркко́синус (обозначение: arccos)

§ аркта́нгенс (обозначение: arctg; в иностранной литературе arctan)

§ арккота́нгенс (обозначение: arcctg; в иностранной литературе arccotan)

§ арксе́канс (обозначение: arcsec)

§ арккосе́канс (обозначение: arccosec; в иностранной литературе arccsc)

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arc - дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Изредка в иностранной литературе пользуются обозначениями типа sin −1 для арксинуса и т.п.; это считается неоправданным, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1.

Свойства функции arcsin

(функция является нечётной). при .

при

при

Свойства функции arccos[

· (функция центрально-симметрична относительно точки ), является индифферентной.

·

·

·

Свойства функции arctg

·

· , при x > 0.

Свойства функции arcctg

· (график функции центрально-симметричен относительно точки

· при любых

·

12)Степенью числа a > 0 с рациональным показателем является степень, показатель которой представим в виде обыкновенной несократимой дроби x = m/n, где m целое, а n натуральное число, причём n > 1 (x - показатель степени).

Степень с действительным показателем

Пусть дано положительное число и произвольное действительное число . Число называется степенью, число - основанием степени, число - показателем степени.

По определению полагают:

Если и - положительные числа, и - любые действительные числа, то справедливы следующие свойства:

14)Логари́фм числа по основанию (от греч. λόγος - «слово», «отношение» и ἀριθμός - «число» ) определяется какпоказатель степени, в которую надо возвести основание , чтобы получить число . Обозначение: , произносится: "логарифм по основанию ".

Свойства логарифмов:

1° - основное логарифмическое тождество.

Логарифм единицы по любому положительному, отличному от 1, основанию равен нулю. Это возможно потому, что из любого действительного числа можно получить 1 только возведя его в нулевую степень.

4° - логарифм произведения.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

5° - логарифм частного.

Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.

6° - логарифм степени.

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.

7°

8°

9° - переход к новому основанию.

15)Действительное число - (вещественное число) , любое положительное, отрицательное число или нуль. Посредством действительных чисел выражаются результаты измерения всех физических величин. ;

16)Мнимая единица - обычно комплексное число, квадрат которого равен отрицательной единице. Однако возможны и иные варианты: в конструкции удвоения по Кэли-Диксону или в рамках алгебры по Клиффорду.

Ко́мпле́ксные чи́сла (устар. мнимые числа ) - числа вида , где и - вещественные числа, - мнимая единица; то есть . Множество всех комплексных чисел обычно обозначается от лат. complex - тесно связанный.

Данный урок входит в тему "Преобразования выражений, содержащих степени и корни".

Конспект представляет собой подробную разработку урока по свойствам степени с рациональным и действительным показателем. Используются компьютерные, групповые и игровые технологии обучения.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Методическая разработка урока по алгебре

преподавателя математики ГАУ КО ПО КСТ

Пеховой Надежды Юрьевны

по теме: «Свойства степени с рациональным и действительным показателем».

Цели урока:

• обучающие: закрепление и углубление знаний свойств степени с рациональным показателем и применение их в упражнениях; совершенствование знаний по истории развития степеней;
• развивающие: развитие навыка само- и взаимоконтроля; развитие интеллектуальных способностей, мыслительных умений,
• воспитывающие: воспитание познавательного интереса к предмету, воспитание ответственности за выполняемую работу, способствовать созданию атмосферы активного творческого труда.

Тип урока: Уроки совершенствования знаний, умений и навыков.

Методы проведения: словесно – наглядные.

Педагогические технологии: компьютерные, групповые и игровые технологии обучения.

Оснащение урока: проекционная техника, компьютер, презентация к уроку, рабочие

тетради, учебники, карточки с текстом кроссворда и рефлексивного теста.

Время занятия: 1час 20мин.

Основные этапы урока :

1. Организационный момент. Сообщение темы, целей урока.

2. Актуализация опорных знаний. Повторение свойств степени с рациональным показателем.

3. Математический диктант на свойства степени с рациональным показателем.

4. Сообщения обучающихся с использованием компьютерной презентации.

5. Работа группами.

6. Решение кроссворда.

7. Подведение итогов, выставление оценок. Рефлексия.

8. Домашнее задание.

Ход урока :

1. Орг. момент. Сообщение темы, целей урока, плана урока. Слайды 1, 2.

2. Актуализация опорных знаний.

1) Повторение свойств степени с рациональным показателем: обучающиеся должны продолжить написанные свойства – фронтальный опрос. Слайд 3.

2) Учащиеся у доски - разбор упражнений из учебника (Алимов Ш.А.): а) № 74, б) № 77.

В) № 82-а;б;в.

№74: а) = = a ;

Б) + = ;

В) : = = = b .

№ 77: а) = = ;

Б) = = = b .

№ 82: а) = = = ;

Б) = = y;

В) () () = .

3. Математический диктант со взаимопроверкой. Обучающиеся обмениваются работами, сверяют ответы и выставляют оценки.

Слайды 4 - 5

4. Сообщения учащихся некоторых исторических фактов по изучаемой теме.

Слайды 6 – 12:

Первый учащийся : Слайд 6

Понятие степени с натуральным показателем сформировалось ещё у древних народов. Квадрат и куб числа использовались для вычисления площадей и объемов. Степени некоторых чисел использовались при решении отдельных задач учеными Древнего Египта и Вавилона.

В III веке вышла книга греческого ученого Диофанта “Арифметика”, в которой было положено начало введению буквенной символики. Диофант вводит символы для первых шести степеней неизвестного и обратных им величин. В этой книге квадрат обозначается знаком и индексом; например, куб – знаком k c индексом r и т.д.

Второй учащийся : Слайд 7

Большой вклад в развитие понятия степени внес древнегреческий ученый Пифагор. У него была целая школа, и всех его учеников называли пифагорейцами. Они придумали, что каждое число можно представить в виде фигур. Например, числа 4, 9 и 16 они представляли в виде квадратов.

Первый учащийся : Слайды 8-9

Слайд 8

Слайд 9

XVI век. В этом веке понятие степени расширилось: его стали относить не только к конкретному числу, но и к переменной. Как тогда говорили «к числам вообще» Английский математик С. Стевин придумал запись для обозначения степени: запись 3(3)+5(2)–4 обозначала такую современную запись 3 3 + 5 2 – 4.

Второй учащийся : Слайд 10

Позже дробные и отрицательные, показатели встречаются в “Полной арифметике” (1544 г.) немецкого математика М.Штифеля и у С. Стевина.

С.Стевин предположил подразумевать под степенью с показателем вида корень, т.е. .

Первый учащийся : Слайд 11

В конце ХVI века Франсуа Виет ввел буквы для обозначения не только переменных, но и их коэффициентов. Он применял сокращения: N, Q, C – для первой, второй и третьей степеней.

Но современные обозначения (типа , ) в XVII веке ввел Рене Декарт.

Второй учащийся : Слайд 12

Современные определения и обозначения степени с нулевым, отрицательным и дробным показателем берут начало от работ английских математиков Джона Валлиса (1616–1703) и Исаака Ньютона.

5. Решение кроссворда.

Обучающиеся получают листы с кроссвордом. Решают парами. Оценку получает пара, решившая первой. Слайды 13-15.

6. Работа группами. Слайд 16.

Учащиеся выполняют самостоятельную работу, работая группами по 4 человека, консультируя друг друга. Затем работы сдаются на проверку.

7. Подведение итогов, выставление оценок.

Рефлексия.

Учащиеся заполняют рефлексивный тест. Отметьте «+», если согласны, и «-» в противном случае.

Рефлексивный тест :

1. Я узнал(а) много нового.

2. Мне это пригодится в дальнейшем.

3. На уроке было над чем подумать.

4. На все возникшие у меня в ходе урока вопросы, я получил(а) ответы.

5. На уроке я поработал(а) добросовестно и цели урока достиг(ла).

8. Задание на дом: Слайд 17.

1) № 76 (1; 3); № 70 (1; 2)

2) По желанию: составить кроссворд с основными понятиями изученной темы.

Использованная литература:

1. Алимов Ш.А. алгебра и начала анализа 10-11 классы, учебник – М.: Просвещение, 2010.
2. Алгебра и начала анализа 10 класс. Дидактические материалы. Просвещение, 2012.

Интернет - ресурсы:

1. Образовательный сайт - RusCopyBook.Com - Электронные учебники и ГДЗ
2. Сайт Образовательные ресурсы Интернета - школьникам и студентам. http://www.alleng.ru/edu/educ.htm
3. Сайт Учительский портал - http://www.uchportal.ru/

В этой статье мы разберемся, что такое степень числа . Здесь мы дадим определения степени числа, при этом подробно рассмотрим все возможные показатели степени, начиная с натурального показателя, заканчивая иррациональным. В материале Вы найдете массу примеров степеней, покрывающих все возникающие тонкости.

Навигация по странице.

Степень с натуральным показателем, квадрат числа, куб числа

Для начала дадим . Забегая вперед, скажем, что определение степени числа a с натуральным показателем n дается для a , которое будем называть основанием степени , и n , которое будем называть показателем степени . Также отметим, что степень с натуральным показателем определяется через произведение, так что для понимания нижеизложенного материала нужно иметь представление об умножении чисел.

Определение.

Степень числа a с натуральным показателем n - это выражение вида a n , значение которого равно произведению n множителей, каждый из которых равен a , то есть, .
В частности, степенью числа a с показателем 1 называется само число a , то есть, a 1 =a .

Сразу стоит сказать о правилах чтения степеней. Универсальный способ чтения записи a n таков: «a в степени n ». В некоторых случаях также допустимы такие варианты: «a в n -ой степени» и «n -ая степень числа a ». Для примера возьмем степень 8 12 , это «восемь в степени двенадцать», или «восемь в двенадцатой степени», или «двенадцатая степень восьми».

Вторая степень числа, а также третья степень числа имеют свои названия. Вторую степень числа называют квадратом числа , например, 7 2 читается как «семь в квадрате» или «квадрат числа семь». Третья степень числа называется кубом числа , к примеру, 5 3 можно прочитать как «пять в кубе» или сказать «куб числа 5 ».

Пришло время привести примеры степеней с натуральными показателями . Начнем со степени 5 7 , здесь 5 – основание степени, а 7 – показатель степени. Приведем еще пример: 4,32 является основанием, а натуральное число 9 – показателем степени (4,32) 9 .

Обратите внимание, что в последнем примере основание степени 4,32 записано в скобках: чтобы избежать разночтений мы будем брать в скобки все основания степени, которые отличны от натуральных чисел. В качестве примера приведем следующие степени с натуральными показателями , их основания не являются натуральными числами, поэтому они записаны в скобках. Ну и для полной ясности в этом моменте покажем разницу, заключенную в записях вида (−2) 3 и −2 3 . Выражение (−2) 3 – это степень −2 с натуральным показателем 3, а выражение −2 3 (его можно записать как −(2 3) ) соответствует числу, значению степени 2 3 .

Заметим, что встречается обозначение степени числа a с показателем n вида a^n . При этом, если n – многозначное натуральное число, то показатель степени берется в скобки. Например, 4^9 – это другая запись степени 4 9 . А вот еще примеры записи степеней при помощи символа «^ »: 14^(21) , (−2,1)^(155) . В дальнейшем мы преимущественно будем пользоваться обозначением степени вида a n .

Одной из задач, обратной возведению в степень с натуральным показателем, является задача нахождения основания степени по известному значению степени и известному показателю. Эта задача приводит к .

Известно, что множество рациональных чисел состоит из целых и дробных чисел, причем каждое дробное число может быть представлено в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби. Степень с целым показателем мы определили в предыдущем пункте, поэтому, чтобы закончить определение степени с рациональным показателем, нужно придать смысл степени числа a с дробным показателем m/n , где m – целое число, а n - натуральное. Сделаем это.

Рассмотрим степень с дробным показателем вида . Чтобы сохраняло силу свойство степени в степени, должно выполняться равенство . Если учесть полученное равенство и то, как мы определили , то логично принять при условии, что при данных m , n и a выражение имеет смысл.

Несложно проверить, что при справедливы все свойства степени с целым показателем (это сделано в разделе свойства степени с рациональным показателем).

Приведенные рассуждения позволяют сделать следующий вывод : если при данных m , n и a выражение имеет смысл, то степенью числа a с дробным показателем m/n называют корень n -ой степени из a в степени m .

Это утверждение вплотную подводит нас к определению степени с дробным показателем. Остается лишь расписать, при каких m , n и a имеет смысл выражение . В зависимости от ограничений, накладываемых на m , n и a существуют два основных подхода.

Проще всего наложить ограничение на a , приняв a≥0 для положительных m и a>0 для отрицательных m (так как при m≤0 степень 0 m не определена). Тогда мы получаем следующее определение степени с дробным показателем.

Определение.

Степенью положительного числа a с дробным показателем m/n , где m – целое, а n – натуральное число, называется корень n -ой из числа a в степени m , то есть, .

Также определяется дробная степень нуля с той лишь оговоркой, что показатель должен быть положительным.

Определение.

Степень нуля с дробным положительным показателем m/n , где m – целое положительное, а n – натуральное число, определяется как .
При степень не определяется, то есть, степень числа нуль с дробным отрицательным показателем не имеет смысла.

Следует отметить, что при таком определении степени с дробным показателем существует один нюанс: при некоторых отрицательных a и некоторых m и n выражение имеет смысл, а мы отбросили эти случаи, введя условие a≥0 . Например, имеют смысл записи или , а данное выше определение заставляет нас говорить, что степени с дробным показателем вида не имеют смысла, так как основание не должно быть отрицательным.

Другой подход к определению степени с дробным показателем m/n заключается в раздельном рассмотрении четных и нечетных показателях корня . Этот подход требует дополнительного условия: степень числа a , показателем которой является , считается степенью числа a , показателем которой является соответствующая несократимая дробь (важность этого условия поясним чуть ниже). То есть, если m/n – несократимая дробь, то для любого натурального числа k степень предварительно заменяется на .

При четных n и положительных m выражение имеет смысл при любом неотрицательном a (корень четной степени из отрицательного числа не имеет смысла), при отрицательных m число a должно быть еще отличным от нуля (иначе будет деление на нуль). А при нечетных n и положительных m число a может быть любым (корень нечетной степени определен для любого действительного числа), а при отрицательных m число a должно быть отличным от нуля (чтобы не было деления на нуль).

Приведенные рассуждения приводят нас к такому определению степени с дробным показателем.

Определение.

Пусть m/n – несократимая дробь, m – целое, а n – натуральное число. Для любой сократимой обыкновенной дроби степень заменяется на . Степень числа a с несократимым дробным показателем m/n - это для



Поясним, зачем степень с сократимым дробным показателем предварительно заменяется степенью с несократимым показателем. Если бы мы просто определили степень как , и не оговорились о несократимости дроби m/n , то мы бы столкнулись с ситуациями, подобными следующей: так как 6/10=3/5 , то должно выполняться равенство , но , а .

Тема урока: Степень с действительным показателем.

Задачи:

• Образовательные :
  • обобщить понятие степени;
  • отработать умение находить значение степени с действительным показателем;
  • закрепить умения использовать свойства степени при упрощении выражений;
  • выработать навык использования свойств степени при вычислениях.
• Развивающие :
  • интеллектуальное, эмоциональное, личностное развитие ученика;
  • развивать умение обобщать, систематизировать на основе сравнения, делать вывод;
  • активизировать самостоятельную деятельность;
  • развивать познавательный интерес.
• Воспитательные :
  • воспитание коммуникативной и информационной культуры обучающихся;
  • эстетическое воспитание осуществляется через формирование умения рационально, аккуратно оформлять задание на доске и в тетради.

Учащиеся должны знать: определение и свойства степени с действительным показателем.

Учащиеся должны уметь:

• определять имеет ли смысл выражение со степенью;
• использовать свойства степени при вычислениях и упрощении выражений;
• решать примеры, содержащие степень;
• сравнивать, находить сходства и отличия.

Форма урока: семинар – практикум, с элементами исследования. Компьютерная поддержка.

Форма организации обучения: индивидуальная, групповая.

Тип урока: урок исследовательской и практической работы.

ХОД УРОКА

Организационный момент

«Однажды царь решил выбрать из своих придворных первого помощника. Он подвёл всех к огромному замку. «Кто первым откроет, тот и будет первым помощником». Никто даже не притронулся к замку. Лишь один визирь подошёл и толкнул замок, который открылся. Он не был закрыт на ключ.
Тогда царь сказал: «Ты получишь эту должность, потому что полагаешься не только на то, что видишь и слышишь, а надеешься на собственные силы и не боишься сделать попытку».
И мы сегодня будем пытаться, пробовать, чтобы прийти к правильному решению.

1. С каким математическим понятием связаны слова:

Основание
Показатель (Степень)
Какими словами можно объединить слова:
Рациональное число
Целое число
Натуральное число
Иррациональное число (Действительное число)
Сформулируйте тему урока. (Степень с действительным показателем)

2. Какая наша стратегическая цель? (ЕГЭ)
Какие цели нашего урока ?
– Обобщить понятие степени.

Задачи:

– повторить свойства степени
– рассмотреть применение свойств степени при вычислениях и упрощениях выражений
– отработка вычислительных навыков.

3. Итак, а р, где р – число действительное.
Приведите примеры (выберете из выражений 5 –2 , 43, ) степени

– с натуральным показателем
– с целым показателем
– с рациональным показателем
– с иррациональным показателем

4. При каких значениях а имеет смысл выражение

аn, где n (а – любое)
аm, где m (а 0) Как от степени с отрицательным показателем перейти к степени с положительным показателем?
, где (а0)

5. Из данных выражений выберете те, которые смысла не имеют:
(–3) 2 , , , 0 –3 , , (–3) –1 , .
6. Вычислите. Ответы в каждом столбике обладают одним общим свойством. Укажите лишний ответ (этим свойством не обладающий)

2 = =
= 6 = (неправ. др.) = (нельзя записать дес. др.)
= (дробь) = =

7. Какие действия (математические операции) можно выполнять со степенями?

Установите соответствие:

Один ученик записывает формулы (свойства) в общем виде.

8. Дополнить степени из п.3 так, чтобы к полученному примеру можно было применить свойства степени.

(Один человек работает у доски, остальные в тетрадях. Для проверки обменяться тетрадями, а ещё один выполняет действия на доске)

9. На доске (работает ученик):

Вычислите : =

Самостоятельно (с проверкой на листах)

Какой из ответов не может получиться в части «В» на ЕГЭ? Если в ответе получилось , то как записать такой ответ в части «В»?

10. Самостоятельное выполнение задания (с проверкой у доски – несколько человек)

Задание с выбором ответа

1
2	:
3	0,3
4

11. Задание с кратким ответом (решение у доски):

+ + (60)5 2 – 3–4 27 =

Самостоятельно с проверкой на скрытой доске:

– – 322– 4 + (30)4 4 =

12 . Сократите дробь (на доске):

В это время один человек решает на доске самостоятельно: = (класс проверяет)

13. Самостоятельное решение (на проверку)

На отметку «3»: Тест с выбором ответа:

1. Укажите выражение, равное степени

1.

2.

3.

4.

2. Представьте в виде степени произведение: – Спасибо за урок!

---