Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

В предыдущем уроке мы разобрались с разложением на множители. Освоили два способа: вынесение общего множителя за скобки и группировку. В этом уроке - следующий мощный способ: формулы сокращённого умножения . В краткой записи - ФСУ.

Формулы сокращённого умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне необходимы во всех разделах математики. Они применяются в упрощении выражений, решении уравнений, умножении многочленов, сокращении дробей, решении интегралов и т.д. и т.п. Короче, есть все основания разобраться с ними. Понять откуда они берутся, зачем они нужны, как их запомнить и как применять.

Разбираемся?)

Откуда берутся формулы сокращённого умножения?

Равенства 6 и 7 записаны не очень привычно. Как бы наоборот. Это специально.) Любое равенство работает как слева направо, так и справа налево. В такой записи понятнее, откуда берутся ФСУ.

Они берутся из умножения.) Например:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

Вот и всё, никаких научных хитростей. Просто перемножаем скобки и приводим подобные. Так получаются все формулы сокращённого умножения. Сокращённое умножение - это потому, что в самих формулах нет перемножения скобок и приведения подобных. Сокращены.) Сразу дан результат.

ФСУ нужно знать наизусть. Без первых трёх можно не мечтать о тройке, без остальных - о четвёрке с пятёркой.)

Зачем нужны формулы сокращённого умножения?

Есть две причины, выучить, даже зазубрить эти формулы. Первая - готовый ответ на автомате резко уменьшает количество ошибок. Но это не самая главная причина. А вот вторая...

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения . Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

Следует также помнить, что вместо a и b в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.

Разность квадратов

Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.

a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)

Квадрат суммы

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел , не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

Найти 112 2 .

Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.2
112 = 100 + 1

Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
112 2 = (100 + 12) 2

Воспользуемся формулой квадрата суммы:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

(8a + с) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Предостережение!!!

(a + b) 2 не равно a 2 + b 2

Квадрат разности

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

(a - b) 2 = (b - a) 2
Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2

Куб суммы

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.

Выучите, что в начале идёт a 3 .

Два многочлена посередине имеют коэффициенты 3.

В спомним, что любое число в нулевой степени есть 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Легко заметить, что в формуле идёт понижение степени a и увеличение степени b. В этом можно убедиться:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Предостережение!!!

(a + b) 3 не равно a 3 + b 3

Куб разности

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков «+» и «-». Перед первым членом a 3 стоит «+» (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять «-», затем опять «+» и т.д.

(a - b) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Сумма кубов ( Не путать с кубом суммы!)

Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)

Сумма кубов - это произведение двух скобок.

Первая скобка - сумма двух чисел.

Вторая скобка - неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:

A 2 - ab + b 2
Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.

Разность кубов (Не путать с кубом разности!!!)

Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.

a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)

Будьте внимательны при записи знаков. Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.

Легкий способ запомнить формулы сокращенного умножения, или… Треугольник Паскаля.

Трудно запоминаются формулы сокращенного умножения? Делу легко помочь. Нужно просто запомнить, как изображается такая простая вещь, как треугольник Паскаля. Тогда вы вспомните эти формулы всегда и везде, вернее, не вспомните, а восстановите.

Что же такое треугольник Паскаля? Этот треугольник состоит из коэффициентов, которые входят в разложение любой степени двучлена вида в многочлен.

Разложим, например, :

В этой записи легко запоминается, что вначале стоит куб первого, а в конце - куб второго числа. А вот что посередине - запоминается сложно. И даже то, что в каждом следующем слагаемом степень одного множителя все время уменьшается, а второго - увеличивается - несложно заметить и запомнить, труднее дело обстоит с запоминанием коэффициентов и знаков (плюс там или минус?).

Итак, сначала коэффициенты. Не надо их запоминать! На полях тетрадки быстренько рисуем треугольник Паскаля, и вот они - коэффициенты, уже перед нами. Рисовать начинаем с трех единичек, одна сверху, две ниже, правее и левее - ага, уже треугольник получается:

Первая строка, с одной единичкой - нулевая. Потом идет первая, вторая, третья и так далее. Чтобы получить вторую строку, нужно по краям снова приписать единички, а в центре записать число, полученное сложением двух чисел, стоящих над ним:

Записываем третью строку: опять по краям единицы, и опять, чтобы получить следующее число в новой строке, сложим числа, стоящие над ним в предыдущей:

Как вы уже догадались, мы получаем в каждой строке коэффициенты из разложения двучлена в многочлен:

Ну а знаки запомнить еще проще: первый - такой же, как в раскладываемом двучлене (раскладываем сумму - значит, плюс, разность - значит, минус), а дальше знаки чередуются!

Вот такая это полезная штука - треугольник Паскаля. Пользуйтесь!

Одной из первых тем, изучаемых в курсе алгебры, являются формулы сокращённого умножения. В 7 классе они применяются в самых простых ситуациях, где требуется распознать в выражении одну из формул и выполнить разложение многочлена на множители или, наоборот, быстро возвести сумму или разность в квадрат или куб. В дальнейшем ФСУ используют для быстрого решения неравенств и уравнений и даже для вычисления некоторых числовых выражений без калькулятора.

Как выглядит список формул

Существует 7 основных формул, позволяющих быстро осуществить перемножение многочленов в скобках.

Иногда в этот список также включается разложение для четвёртой степени, которое следует из представленных тождеств и имеет вид:

a⁴ — b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).

Все равенства имеют пару (сумма - разность), кроме разности квадратов. Для суммы квадратов формула не приводится .

Остальные равенства легко запоминаются :

Следует помнить, что ФСУ работают в любом случае и для любых величин a и b : это могут быть как произвольные числа, так и целые выражения.

В ситуации, если вдруг не получается вспомнить, какой знак стоит в формуле перед тем или иным слагаемым, можно раскрыть скобки и получить тот же результат, что и после использования формулы. Например, если проблема возникла при применении ФСУ куба разности, нужно записать исходное выражение и поочерёдно выполнить умножение :

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² — ab - ab + b²)(a - b) = a³ — a²b - a²b + ab² — a²b + ab² + ab² — b³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³.

В результате после приведения всех подобных членов был получен такой же многочлен, как и в таблице. Такие же манипуляции можно проводить и со всеми остальными ФСУ.

Применение ФСУ для решения уравнений

К примеру, нужно решить уравнение, содержащее многочлен 3 степени :

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

В школьной программе не рассматриваются универсальные приёмы для решения кубических уравнений, и подобные задания чаще всего решаются более простыми методами (например, разложением на множители). Если заметить, что левая часть тождества напоминает куб суммы, то уравнение можно записать в более простом виде:

(x + 1)³ = 0.

Корень такого уравнения вычисляется устно: x = -1 .

Аналогичным способом решаются неравенства. Для примера можно решить неравенство x³ — 6x² + 9x > 0 .

В первую очередь необходимо разложить выражение на множители. Вначале нужно вынести за скобку x . После этого следует обратить внимание, что выражение в скобках можно преобразовать в квадрат разности.

Затем необходимо найти точки, в которых выражение принимает нулевые значения, и отметить их на числовой прямой. В конкретном случае это будут 0 и 3. Затем методом интервалов определить, в каких промежутках x будет соответствовать условию неравенства.

ФСУ могут оказаться полезными при выполнении некоторых расчётов без помощи калькулятора :

703² — 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000 .

Кроме того, раскладывая выражения на множители, можно легко выполнять сокращение дробей и упрощение различных алгебраических выражений.

Примеры задач для 7−8 класса

В заключение разберём и решим два задания на применение формул сокращённого умножения по алгебре.

Задача 1. Упростить выражение:

(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).

Решение. В условии задания требуется упростить выражение, т. е. раскрыть скобки, выполнить действия умножения и возведения в степень, а также привести все подобные слагаемые. Условно разделим выражение на три части (по числу слагаемых) и поочерёдно раскроем скобки, применяя ФСУ там, где это возможно.

(m + 3)² = m² + 6m + 9 (квадрат суммы);
(3m + 1)(3m - 1) = 9m² — 1 (разность квадратов);
В последнем слагаемом необходимо выполнить перемножение: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m .

Подставим полученные результаты в исходное выражение:

(m² + 6m + 9) + (9m² — 1) - (10m² + 6m) .

С учётом знаков раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² — 6m = 8.

Задача 2. Решить уравнение, содержащее неизвестное k в 5 степени:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ — 4k² — 4k = k³.

Решение. В этом случае необходимо воспользоваться ФСУ и методом группировки. Нужно перенести последнее и предпоследнее слагаемое в правую часть тождества.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

Из правой и из левой части выносится общий множитель (k² + 4k +4) :

k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4) .

Всё переносится в левую часть уравнения, чтобы в правой остался 0:

k³(k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0 .

Снова необходимо вынести общий множитель:

(k³ — k)(k² + 4k + 4) = 0.

Из первого полученного сомножителя можно вынести k . По формуле краткого умножения второй множитель будет тождественно равен (k + 2)² :

k (k² — 1)(k + 2)² = 0.

Использование формулы разности квадратов:

k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.

Поскольку произведение равно 0, если хотя бы один из его множителей нулевой, найти все корни уравнения не составит труда:

k = 0;
k - 1 = 0; k = 1;
k + 1 = 0; k = -1;
(k + 2)² = 0; k = -2.

На основании наглядных примеров можно понять, как запомнить формулы, их отличия, а также решить несколько практических задач с применением ФСУ. Задачи простые, и при их выполнении не должно возникнуть никаких сложностей.

На данном уроке мы познакомимся с формулами квадрата суммы и квадрата разности и выведем их. Формулу квадрата суммы докажем геометрически. Кроме того, решим много различных примеров с применением этих формул.

Формулировка темы урока

Рас-смот-рим фор-му-лу квад-ра-та суммы:

Выведение и доказательство формулы квадрата суммы

Итак, мы вы-ве-ли фор-му-лу квад-ра-та суммы:

Сло-вес-но эта фор-му-ла вы-ра-жа-ет-ся так: квад-рат суммы равен квад-ра-ту пер-во-го числа плюс удво-ен-ное про-из-ве-де-ние пер-во-го числа на вто-рое плюс квад-рат вто-ро-го числа.

Дан-ную фор-му-лу легко пред-ста-вить гео-мет-ри-че-ски.

Рас-смот-рим квад-рат со сто-ро-ной :

Пло-щадь квад-ра-та.

С дру-гой сто-ро-ны, этот же квад-рат можно пред-ста-вить иначе, раз-бив сто-ро-ну на а и b (рис. 1).

Рис. 1. Квад-рат

Тогда пло-щадь квад-ра-та можно пред-ста-вить в виде суммы пло-ща-дей:

По-сколь-ку квад-ра-ты были оди-на-ко-вы, то их пло-ща-ди равны, зна-чит:

Итак, мы до-ка-за-ли гео-мет-ри-че-ски фор-му-лу квад-ра-та суммы.

Решение примеров на формулу квадрат суммы

Рас-смот-рим при-ме-ры:

При-мер 1:

Ком-мен-та-рий: при-мер решен с при-ме-не-ни-ем фор-му-лы квад-ра-та суммы.

При-мер 2:

При-мер 3:

Выведение формулы квадрата разности

Вы-ве-дем фор-му-лу квад-ра-та раз-но-сти:

Итак, мы вы-ве-ли фор-му-лу квад-ра-та раз-но-сти:

Сло-вес-но эта фор-му-ла вы-ра-жа-ет-ся так: квад-рат раз-но-сти равен квад-ра-ту пер-во-го числа минус удво-ен-ное про-из-ве-де-ние пер-во-го числа на вто-рое плюс квад-рат вто-ро-го числа.

Решение примеров на формулу квадрат разности

Рас-смот-рим при-ме-ры:

При-мер 4:

При-мер 5:

При-мер 6:

Фор-му-лы квад-ра-та суммы и квад-ра-та раз-но-сти могут ра-бо-тать как слева на-пра-во, так и спра-ва на-ле-во. При ис-поль-зо-ва-нии слева на-пра-во это будут фор-му-лы со-кра-щен-но-го умно-же-ния, они при-ме-ня-ют-ся при вы-чис-ле-нии и пре-об-ра-зо-ва-нии при-ме-ров. А при ис-поль-зо-ва-нии спра-ва на-ле-во - фор-му-лы раз-ло-же-ния на мно-жи-те-ли.

Рас-смот-рим при-ме-ры, в ко-то-рых нужно раз-ло-жить за-дан-ный мно-го-член на мно-жи-те-ли, при-ме-няя фор-му-лы квад-ра-та суммы и квад-ра-та раз-но-сти. Для этого нужно очень вни-ма-тель-но по-смот-реть на мно-го-член и опре-де-лить, как имен-но его пра-виль-но раз-ло-жить.

Решение примеров на разложение многочлена на множители

При-мер 7:

Ком-мен-та-рий: для того, чтобы раз-ло-жить мно-го-член на мно-жи-те-ли, нужно опре-де-лить, что пред-став-ле-но в дан-ном вы-ра-же-нии. Итак, мы видим квад-рат и квад-рат еди-ни-цы. Те-перь нужно найти удво-ен-ное про-из-ве-де-ние - это . Итак, все необ-хо-ди-мые эле-мен-ты есть, нужно толь-ко опре-де-лить, это квад-рат суммы или раз-но-сти. Перед удво-ен-ным про-из-ве-де-ни-ем стоит знак плюс, зна-чит, перед нами квад-рат суммы.

При-мер 8:

При-мер 9:

Ком-мен-та-рий : для ре-ше-ния дан-но-го при-ме-ра нужно вы-не-сти минус за скоб-ки, чтобы можно было уви-деть нуж-ную нам фор-му-лу.

Решение различных типовых задач на применение формул квадрата суммы и разности

Пе-рей-дем к ре-ше-нию урав-не-ний:

При-мер 10:

Ком-мен-та-рий : для ре-ше-ния дан-но-го урав-не-ния нужно упро-стить левую часть, при-ме-няя фор-му-лу раз-но-сти квад-ра-тов и квад-ра-та раз-но-сти, после этого при-ве-сти по-доб-ные члены. После этого пе-ре-не-сти все неиз-вест-ные в левую часть, а сво-бод-ный член в пра-вую и ре-шить эле-мен-тар-ное ли-ней-ное урав-не-ние.

При-мер 11:

Вы-чис-лить: .

Ком-мен-та-рий : для ре-ше-ния дан-но-го при-ме-ра нужно при-ме-нить фор-му-лы раз-но-сти квад-ра-тов и квад-ра-та суммы, после этого со-кра-тить по-лу-чен-ную дробь.

При-мер 12:

До-ка-зать ра-вен-ство:

Раз-ло-жим на мно-жи-те-ли :

Из каж-до-го мно-жи-те-ля вы-не-сем минус еди-ни-цу за скоб-ки:

Мы до-ка-за-ли ра-вен-ство (a - b)2 = (b - a)2.

Дан-ное ра-вен-ство яв-ля-ет-ся очень по-лез-ным при упро-ще-нии вы-ра-же-ний. Рас-смот-рим при-мер.

При-мер 13:

Раз-ло-жить на мно-жи-те-ли: .

При-мер 14:

До-ка-жи-те, что квад-рат вся-ко-го нечет-но-го числа, умень-шен-ный на еди-ни-цу, де-лит-ся на во-семь.

Пред-ста-вим про-из-воль-ное нечет-ное число как , а его квад-рат, со-от-вет-ствен-но, как . За-пи-шем вы-ра-же-ние со-глас-но усло-вию:

Упро-стим по-лу-чен-ное вы-ра-же-ние:

Чтобы до-ка-зать, что по-лу-чен-ное вы-ра-же-ние крат-но вось-ми, нам нужно до-ка-зать, что оно де-лит-ся на 2 и на 4. Оче-вид-но, что вы-ра-же-ние крат-но че-ты-рем, так как в нем есть мно-жи-тель 4. По-это-му нам нужно до-ка-зать, что де-лит-ся на 2.

За-пись - это про-из-ве-де-ние двух по-сле-до-ва-тель-ных чисел, а оно все-гда крат-но двум, так как из двух по-сле-до-ва-тель-ных чисел одно все-гда будет чет-ным, а вто-рое, со-от-вет-ствен-но, нечет-ным, а про-из-ве-де-ние чет-но-го числа на нечет-ное крат-но двум, зна-чит, вы-ра-же-ние крат-но вось-ми. Итак, мы до-ка-за-ли, что квад-рат вся-ко-го нечет-но-го числа, умень-шен-ный на еди-ни-цу, де-лит-ся на во-семь.

Выводы по уроку

Вывод : на дан-ном уроке мы вы-ве-ли фор-му-лы квад-ра-та суммы и квад-ра-та раз-но-сти и на-учи-лись ре-шать самые раз-но-об-раз-ные за-да-чи на при-ме-не-ние этих фор-мул.

На данном уроке мы вспомним выученные ранее формулы сокращенного умножения, а именно квадрата суммы и квадрата разности. Выведем формулу разности квадратов и решим много различных типовых задач на применение этой формулы. Кроме того, решим задачи на комплексное применение нескольких формул.

Формулировка темы и цели урока и напоминание материала предыдущего урока

На-пом-ним, что на преды-ду-щем уроке мы рас-смот-ре-ли фор-му-лы квад-ра-та суммы и квад-ра-та раз-но-сти. За-пи-шем их:

Вывод формулы разности квадратов

Вы-ве-дем фор-му-лу раз-но-сти квад-ра-тов. Вы-пол-ним умно-же-ние дву-чле-нов по пра-ви-лу:

Сло-вес-но дан-ная фор-му-ла вы-гля-дит так: раз-ность квад-ра-тов двух вы-ра-же-ний равна про-из-ве-де-нию суммы этих вы-ра-же-ний на их раз-ность.

Мы на-зы-ва-ем раз-но-стью квад-ра-тов.

Мы на-зы-ва-ем квад-ра-том раз-но-сти, не сле-ду-ет пу-тать два этих вы-ра-же-ния.

Примеры прямого использования формулы и формулировка стандартной ошибки

Рас-смот-рим при-ме-не-ние фор-мул в ти-по-вых за-да-чах. Нач-нем с задач на пря-мое при-ме-не-ние фор-му-лы.

При-мер 1: .

При-мем за , за , по-лу-чим:

Рас-пи-шем со-глас-но фор-му-ле:

Пе-рей-дем к ис-ход-ным пе-ре-мен-ным:

Стан-дарт-ная ошиб-ка:

по-ме-ня-ем в скоб-ке со зна-ком плюс сла-га-е-мые ме-ста-ми, по-лу-чим:

Часто при такой за-пи-си пу-та-ют, какой квад-рат сле-ду-ет вы-честь из ка-ко-го:

Решение примеров на прямое применение формулы

При-мер 2:

Ком-мен-та-рий : если воз-ни-ка-ют за-труд-не-ния, можно, ана-ло-гич-но преды-ду-ще-му при-ме-ру, за-ме-нить одно из вы-ра-же-ний на а, а вто-рое на b, чтобы легче было уви-деть нуж-ную фор-му-лу.

При-мер 3:

Ком-мен-та-рий : в дан-ном при-ме-ре сле-ду-ет быть вни-ма-тель-ны-ми и не до-пу-стить ти-по-вую ошиб-ку, опи-сан-ную выше. Для этого удоб-но в пер-вой скоб-ке по-ме-нять сла-га-е-мые ме-ста-ми.

Пе-рей-дем к за-да-чам на об-рат-ное при-ме-не-ние фор-му-лы - раз-ло-же-ние на мно-жи-те-ли.

При-мер 4:

Ком-мен-та-рий: при-мер решен из опре-де-ле-ния раз-но-сти квад-ра-тов. Нужно толь-ко опре-де-лить, квад-ра-том ка-ко-го вы-ра-же-ния яв-ля-ет-ся пер-вый од-но-член и вто-рой.

При-мер 5:

При-мер 6:

Ком-мен-та-рий : в дан-ном при-ме-ре нужно несколь-ко раз при-ме-нить изу-ча-е-мую фор-му-лу. Может быть за-да-но из по-лу-чен-ной в конце длин-ной фор-му-лы по-лу-чить стан-дарт-ный вид мно-го-чле-на, тогда нужно по-сте-пен-но пе-ре-мно-жать скоб-ки между собой и сво-ра-чи-вать вы-ра-же-ние до про-стей-ше-го.

Примеры на комплексное применение нескольких формул

Сле-ду-ю-щий тип задач - ком-би-ни-ро-ван-ное при-ме-не-ние несколь-ких фор-мул.

При-мер 7 - упро-стить:

Ком-мен-та-рий: в дан-ном при-ме-ре нужно при-ме-нить две фор-му-лы: раз-но-сти квад-ра-тов и квад-ра-та раз-но-сти, в по-лу-чен-ном вы-ра-же-нии при-ве-сти по-доб-ные члены.

При-мер 8:

Решение уравнений и вычислительных задач

Пе-рей-дем к ре-ше-нию урав-не-ний.

При-мер 9:

Рас-смот-рим вы-чис-ли-тель-ные за-да-чи.

При-мер 10:

При-мер 11:

Выводы по уроку и домашнее задание

Вывод : на дан-ном уроке мы вы-ве-ли фор-му-лу раз-но-сти квад-ра-тов и ре-ши-ли много раз-лич-ных при-ме-ров, а имен-но урав-не-ния, вы-чис-ли-тель-ные за-да-чи, за-да-ния на пря-мое и об-рат-ное ис-поль-зо-ва-ние вы-ве-ден-ной фор-му-лы и дру-гие. Кроме того, ре-ши-ли несколь-ко задач на ком-плекс-ное при-ме-не-ние несколь-ких фор-мул.

На данном уроке мы продолжим изучать формулы сокращенного умножения, а именно рассмотрим формулы разности и суммы кубов. Кроме того, мы решим различные типовые задачи на применение данных формул.

Выведение формулы разности кубов

При изу-че-нии фор-мул со-кра-щен-но-го умно-же-ния мы уже изу-чи-ли:

Квад-рат суммы и раз-но-сти;

Раз-ность квад-ра-тов.

Вы-ве-дем фор-му-лу раз-но-сти кубов.

Наша за-да-ча - до-ка-зать, что при рас-кры-тии ско-бок в пра-вой части и при-ве-де-нии по-доб-ных сла-га-е-мых мы при-дем в ре-зуль-та-те к левой части.

Вы-ра-же-ние на-зы-ва-ет-ся непол-ным квад-ра-том суммы, так как от-сут-ству-ет двой-ка перед про-из-ве-де-ни-ем вы-ра-же-ний.

Выведение формулы суммы кубов

Опре-де-ле-ние

Раз-ность кубов двух вы-ра-же-ний есть про-из-ве-де-ние раз-но-сти этих вы-ра-же-ний на непол-ный квад-рат их суммы.

Вы-ве-дем фор-му-лу суммы кубов.

Вы-пол-ня-ем умно-же-ние мно-го-чле-нов:

Что и тре-бо-ва-лось до-ка-зать.

Вы-ра-же-ние на-зы-ва-ет-ся непол-ным квад-ра-том раз-но-сти, так как от-сут-ству-ет двой-ка перед про-из-ве-де-ни-ем вы-ра-же-ний.

Задачи на упрощение выражений

Опре-де-ле-ние

Сумма кубов двух вы-ра-же-ний есть про-из-ве-де-ние суммы этих вы-ра-же-ний на непол-ный квад-рат их раз-но-сти.

При-мер 1 - упро-стить вы-ра-же-ние:

Пусть и , имеем:

Это изу-ча-е-мая фор-му-ла - раз-но-сти кубов:

При-мер 2 - упро-стить вы-ра-же-ние: